Ton problème est en fait tout simple.
Un disque dur ne supporte au maximum que quatre partitions primaire.
L'astuce consiste donc a créer des partitions étendues qui elles mêmes peuvent contenir quatre partitions primaires.
Exemple:
partition1 (primaire)
partition2 (primaire)
partition3 (primaire)
partition4 (primaire)
Ca c'est bon mais si tu veux en créer une 5eme tu es bloqué tu dois donc avoir par exemple:
partition1 (primaire)
partition2 (primaire)
partition3 (primaire)
partition4 (étendue)
partition5 (primaire)
partition6 (primaire)
partition7 (primaire)
partition8 (logique)
etc...
Dans ton cas:
/dev/sda1 <- c'est une partition primaire, 1ere partition
/dev/sda2 <- c'est une partition primaire, 2eme partition
/dev/sda3 <- c'est une partition primaire, 3eme partition
/dev/sda4 <- c'est une partition étendue, 4eme partition (à partir de celle ci tu peux recréer quatre autres partitions)
/dev/sda5 <- c'est une partition primaire
/dev/sda6 <- c'est une partition primaire
Si tu supprimes ton / tu te retrouve donc avec un espace libre mais tu ne peux créer qu'une partition car tu ne peux dépasser la limite des quatre partitions.
Ce que tu dois donc faire selon moi, réduire ton /, agrandir la partition étendue à l'espace libre puis créer un /home DANS la partition étendue.
edit: grillé par nouvo09